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江苏省盐城市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题

发布时间:

江苏省盐城市 2008-2009 高三第一学期期中调研测试题

数学(正题)

(本部分满分 160 分,考试时间 120 分钟)

参考公式: ? 2 ?

n(ad ? bc)2

.

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:
? ? P ?2 ? x0 0.10

0.05 0.025

0.010

0.005

0.001

3.84

5.02

6.63

7.87

10.82

x0

2.706

1

4

5

9

8

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答

题纸的指定位置上.

1、已知集合 P ? ?x x(x ?1)≥0? , Q ? ?x | y ? ln(x ?1)?,则 P Q =

.

2、若复数 z ? a2 ?1? (a ?1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z =

.

3、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为 F(10, 0) ,两条渐近线的方程为 y ? ? 4 x ,则该 3

双曲线的标准方程为

.

4、在等比数列{ an }中,若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 ,则 a12 的值是

.

5、在用二.分.法.求方程 x3 ? 2x ?1 ? 0 的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,

则下一步可断定该根所在的区间为

.

6、若 cos 2? ? ? 2 ,则 cos? ? sin? =

.

sin

????

?

π 4

? ??

2

7、设?, ? 为互不重合的平面, m, n 为互不重合的直线,给出下列四个命题:

①若 m ? ?, n ? ?,则m ? n ; ②若 m ??,n ??,m ∥ ? , n ∥ ? ,则? ∥ ? ;

③若? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ?, n ? m,则n ? ? ; D

CD

C

④若 m ? ?,? ? ? , m // n,则n // ? .

其中所有正确命题的序号是

.

A

8、如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2,

B A 正视图 B 俯视图 第 8 题图

正视图和俯视图如图所示,则其左视图的面积为

.

9、函数 y ? sin ? x 在区间?0,t? 上恰好取得 2 个最大值,则实数 t 的取值范围是

.

3

10、定义函数 CONRND( a, b )是产生区间( a, b )内的任何一个实数的随机数函数.如图

所示的程序框图可用来估计? 的值.现在 N 输入的值为 100,结果 m 的输出值为 21,则由

此可估计? 的近似值为

.

11、 已知命题 p :"?x ?[1, 2], 1 x2 ? ln x ? a ? 0" 与命题 2

开始 输入 N

q :"?x ? R, x2 ? 2ax ? 8 ? 6a ? 0" 都是真命题,则实
i ?1

数 a 的取值范围是

.

12、过定点 P (1,2)的直线在 x轴与y轴 正半轴上的截距分别

m?0

为 a、b ,则 4 a2 ? b2 的最小值为

.

13、已知?an? 是首项为

a,公差为

1

的等差数列, bn

?

1? an an

.若对

任意的 n ? N* ,都有 bn ? b8 成立,则实数 a 的取值范围是

.

i?N
是 A ? CONRND(?1,1) B ? CONRND(?1,1)

否 输出 m


A2 ? B2 ? 1


结束

14、已知 f1(x) ? ex sin x , fn (x) ? fn??1(x), n ? 2 ,

m ? m?1

2008

? 则 fi (0) ?

.

i ? i ?1

i ?1
第 10 题图

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,

请把答案写在答题纸的指定区域内.

15、(本小题满分 14 分(7 分 + 7 分))

在锐.角.△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C .

(1)求角 B 的大小;(2)设 m ? (sin A,1), n ? (3, cos 2 A) ,试求 m ? n 的取值范围.

16、(本小题满分 14 分)

某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机抽测了 20 人,得到如下数据:





1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

身高 x(厘米) 192 164 172 177 176 159 171 166 182 166

脚长 y( 码 ) 48 38 40 43 44 37 40 39 46 39





11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

身高 x(厘米) 169 178 167 174 168 179 165 170 162 170

脚长 y( 码 ) 43 41 40 43 40 44 38 42 39

41

(1)若“身高大于 175 厘米”的为“高个”,“身高小于等于 175 厘米”的为“非高个”;“脚长

大于 42 码”的为“大脚”,“脚长小于等于 42 码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成下面

的 2?2 联列表: (3 分)

高个

非高个

合计

大脚

非大脚

12

合计

20

(2)根据题(1)中表格的数据,若按 99%的可靠性要求,能否认为脚的大小与身高之间 有关系? (5 分)
(3)若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来核查测量数据的误差:将一个标有数字 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求:
①抽到 12 号的概率;②抽到“无效序号(超过 20 号)”的概率. (6 分)

17、(本小题满分 15 分)
已知直角梯形 ABCD中, AB // CD , AB ? BC, AB ? 1, BC ? 2,CD ? 1? 3, 过 A 作 AE ? CD ,垂足为 E , G、F分别 为AD、CE 的中点,现将 ?ADE 沿 AE 折叠,使得 DE ? EC .
(1)求证: BC ? 面CDE ;(5 分)(2)求证: FG // 面BCD ;(5 分) (3)在线段 AE 上找一点 R ,使得面 BDR ?面 DCB ,并说明理由. (5 分)

D

D

E ·F C



G

F

E

C

A

B

A

B

18、(本小题满分 15 分)
已知直线 (1? 4k)x ? (2 ? 3k) y ? (3 ?12k) ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8.(1)求椭圆 C 的标准方程;(7 分) (2)已知圆 O : x2 ? y2 ? 1,直线 l : mx ? ny ? 1.试证明当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动时,

直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. (8 分)
19、(本小题满分 16 分)
已知函数 f (x) ? k[(loga x)2 ? (logx a)2 ] ? (loga x)3 ? (logx a)3 g(x) ? (3 ? k 2 )(loga x ? logx a) ,(其中 a ?1),设 t ? loga x ? logx a .
(1)当 x ?(1, a) ?(a, ??) 时,试将 f (x) 表示成 t 的函数 h(t) ,并探究函数 h(t) 是否有极
值;(7 分)
(2)当 x ? (1, ??) 时,若存在 x0 ? (1, ??) ,使 f (x0 ) ? g(x0 ) 成立,试求 k 的范围.(9 分)

20、(本小题满分 16 分)
? ? 已知 a 为实数,数列 an 满足 a1 ? a ,当 n ? 2 时, an ? ???4an??1a?n?31

(an?1 ? 3) , (an?1 ? 3)

(1)当a ?100 时,求数列?an?的前100项的和S100 ;(5 分)

(2)证明:对于数列?an? ,一定存在 k ? N* ,使 0 ? ak ? 3 ;(5 分)

? (3)令 bn

?

2n

an ? (?1)n

,当 2

?

a

?

3 时,求证:

n i ?1

bi

?

20 ? 12

a

. (6

分)

数 学(附加题)
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟) 一、选做题:请在下列 4 小题中任做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定 区域内,多做者按所做的前 2 题给分. 1、(选修 4—1:几何证明选讲)如图,已知:C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点,CH⊥AB 于点 H,直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D,E 为 CH 中点,连接 AE 并延长交 BD 于点 F,直线 CF 交直线 AB 于点 G.
(1)求证:F 是 BD 的中点; (2)求证:CG 是⊙O 的切线.
2、(选修 4—2:矩阵与变换)二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换 成点(-1,-1)与(0,-2).
(1)求矩阵 M; (2)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方程.

3、(选修

4—4:坐标系与参数方程)求直线

?
?? ?
? ??

x y

? ?

1? ?1

4 5
?

t
3 5

t



t为参数 )被曲线

? ? 2 cos(? ? ? ) 所截的弦长. 4

4、(选修 4—5:不等式选讲)已知 a>0,b>0,c>0,abc=1,

试证明:

1 a 2 (b ?

c)

?

1 b2 (a ?

c)

?

1 c2 (a ?

b)

?

3 2

.

二、必做题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,计 20 分,请把答案写在答题纸的指定区域内. 5、某城市有甲、乙、丙、丁 4 个旅游景点,一位客人游览这 4 个景点的概率都是 0.6,且客
人是否游览哪个景点互不影响.设? 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的
景点数之差的绝对值.
(1)求? 的分布列及数学期望;
(2)记“函数 f (x) ? x2 ? 3?x ? 1在区间[4, ??) 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概率.

6、如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2, AF ? 1 .

(1)求二面角 A-DF-B 的大小;

E

(2)在线段 AC 上找一点 P,使 PF 与 AD 所成的角为 600

试确定点 P 的位置. C

D

F B
A

数学参考答案

正题部分(计 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.

1. ?1, ??? 2.2

3. x2 ? y2 ? 1 36 64

4.4

5.

? ??

3 2

,

2

???(说明:写成闭区间也算对)

1
6.

7.①③

8. 2 3

2

9.

?15 ?? 2

,

27 2

? ??

10.3.16

11.

?

??,

?4?

?

????2,

1 2

? ??

12.32

13. ??8,?7?

14.1? 4502

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.

15. 解: (1) 因为(2a-c)cosB=bcosC,

所以(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,…………………………(3 分)

即 2sinA cosB=sinCcosB+sinBcosC= sin(C+B)= sinA.而 sinA>0,

所以 cosB= 1 2

………………(6 分)

故 B=60°…………………………………………………………………………………(7 分)

(2) 因为 m ? (sin A,1), n ? (3, cos 2 A) ,所以 m ? n =3sinA+cos2A………… (8 分)

=3sinA+1-2sin2A=-2(sinA- 3 )2+ 17 ………………………… (10 分)

4

8

?00 ? A ? 900



? ? ??00

B ?

? 600 C ? 900



? ??00

00 ? A ? 900 ? 1200 ? A ? 900

,所以 300

?

A

?

900

,

从而

sin

A

?

? ??

1 2

,1???

…(12 分)



m

?

n

的取值范围是

? ??

2,

17 8

? ??

.……………………………………………………

(14 分)

16. 解: (1)表格为:

高个

非高个

合计

大脚

5

非大脚

1

合计

6

2

7

13

14 …………… (3 分)

(说明:黑框内的三个数据每个 1 分,黑框外合计数据有错误的暂不扣分) (2)提出假设 H0: 人的脚的大小与身高之间没有关系. …………………………… (4 分)
根据上述列联表可以求得 ? 2 ? 20? (5?12 ?1? 2)2 ? 8.802 .…………………… (7 分) 6?14? 7 ?13

当 H0 成立时, ? 2 ? 7.879 的概率约为 0.005,而这里 8.802>7.879,

所以我们有 99.5%的把握认为: 人的脚的大小与身高之间有关系. ……………… (8 分)

(3)

①抽到 12 号的概率为 P1

?

4 36

?1 9

…………………………………

(11 分)

②抽到“无效序号(超过

20

号)”的概率为

P2

?

6 36

?

1 6

……………………

(14

分)

17. 解:(1)证明:由已知得: DE ? AE, DE ? EC , ?DE ? 面ABCE …………(2 分)

?DE ? BC , 又BC ? CE ,?BC ? 面DCE ……………………(5 分) (2)证明:取 AB 中点 H ,连接 GH , FH ,
?GH // BD , FH // BC , ?GH // 面BCD , FH // 面BCD ……………(7 分)

?面FHG // 面BCD , ?GF // 面BCD …………………………(10 分)

(3)分析可知,R 点满足 3AR ? RE 时,面BDR ? 面BDC ……………………(11 分)

证明:取 BD 中点 Q ,连结 DR 、 BR 、 CR 、 CQ 、 RQ

容易计算 CD ? 2, BD ? 5 ,CR ? 13 , DR ? 21 ,CQ ? 2 ,

2

2

2

在 BDR 中

BR ?

5 , DR ?

21 , BD ?

21 ,可知 RQ ?

5
,

2

2

2

∴在 CRQ 中, CQ2 ? RQ2 ? CR2 ,∴ CQ ? RQ ……………………………(13 分)

又在 CBD 中, CD ? CB,Q为BD中点?CQ ? BD ,

?CQ ? 面BDR

,

?面BDC ? 面BDR …………………………………………………………(15 分) (说明:若设 AR ? x ,通过分析,利用 面BDC ? 面BDR 推算出 x ? 1 ,亦可,不必再作证明)
2 18. 解: (1)由 (1? 4k)x ? (2 ? 3k) y ? (3 ?12k) ? 0(k ? R) ,

得 (x ? 2y ? 3) ? k(4x ? 3y ?12) ? 0 ,

则由

?x ??4x

? ?

2 3

y y

?3 ? 0 ?12 ? 0

,解得

F(3,0).………………………………………………(3

分)

? c?3

?a ? 5

设椭圆 C 的方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0)

,则

? ?

a?c ?8

??a2 ? b2 ? c2

,解得 ??b ?? c

?4 ?3

…(6 分)

所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 ………………………………………………(7 分) 25 16

(2)因为点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动,所以1 ? m2 ? n2 ? m2 ? n2 , 从而圆心 O 到直 25 16

线 l : mx ? ny ? 1的距离 d ? 1 ? 1 ? r . m2 ? n2

所以直线 l 与圆 O 恒相交…………………………………………(11 分)

又直线 l 被圆 O 截得的弦长为

L?2

r2 ?d2 ? 2

1? 1 m2 ? n2

?2

1?

9

1 m2 ?16

………(13 分)

25

由于 0 ? m2 ? 25 ,所以16 ? 9 m2 ?16 ? 25 ,则 L ?[ 15 , 4 6 ] ,

25

25

即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 L ?[ 15 , 4 6 ] ……………………(15 分) 25

19. 解:(1)∵ (loga x)2 ? (logx a)2 ? (loga x ? logx a)2 ? 2 ? t2 ? 2 ,

(loga x)3 ? (logx a)3 ? (loga x ? logx a)[(loga x ? logx a)2 ? 3] ? t3 ? 3t ,

∴ h(t) ? ?t3 ? kt2 ? 3t ? 2k, (t ? 2) …………………………………………………… (3 分)

∴ h?(t) ? ?3t2 ? 2kt ? 3

设 t1, t2 是 h?(t) ? 0 的两根,则 t1t2 ? 0 ,∴ h?(t) ? 0 在定义域内至多有一解,
欲使 h(t) 在定义域内有极值,只需 h?(t) ? ?3t2 ? 2kt ? 3 ? 0 在 (2, ??) 内有解,且 h?(t) 的 值在根的左右两侧异号,∴ h?(2) ? 0 得 k ? 9 ……………………………………… (6 分)
4 综上:当 k ? 9 时 h(t) 在定义域内有且仅有一个极值,
4

当 k ? 9 时 h(t) 在定义域内无极值……… (7 分) 4
(2)∵存在 x0 ? (1, ??) ,使 f (x0 ) ? g(x0 ) 成立等价于 f (x) ? g(x)的最大值大于 0.(9 分)

∵ t ? loga x ? logx a ,∴ m(t) ? ?t3 ? kt2 ? k 2t ? 2k, (t ? 2) ,



m?(t)

?

?3t 2

?

2kt

?

k2

?

0

得 t1

?

k , t2

?

?

k 3

.

当 k ? 2 时, m(t)max ? m(k) ? 0 得 k ? 2 ;

当 0 ? k ? 2 时,m(t)max ? m(2) ? 0 得

17 ?1 ? k ? 2 ……………………………… (12 分) 2

当 k ? 0 时,m(t)max ? m(2) ? 0 不成立 ……………………………………………… (13 分)

当 ?6 ? k ? 0 时, m(t)max ? m(2) ? 0 得 ?6 ? k ? ?

17 ?1 ; 2



k

?

?6 时, m(t)max

?

m(?

k) 3

?

0得k

?

?6 ;

综上得:k ? ? 17 ?1 或 k ? 17 ?1 ………………………………………………… (16 分)

2

2

20. 解:(1)当a ? 100 时,由题意知数列?an? 的前 34 项成首项为 100,公差为-3 的等差数

列,从第 35 项开始,奇数项均为 3,偶数项均为 1,从而

(100+97+94+ ??? +4+1) +(3+1+ ??? +3+1)

S100 =

共34项

共66项

……(3 分)

= (100 ?1) ?34 ? (3 ?1)? 66 ? 1717 ?132 ? 1849 . ……………………………(5 分)

2

2

(2)证明:①若 0 ? a1 ? 3 ,则题意成立……………………………………………(6 分)

? ? ②若 a1 ? 3,此时数列 an 的前若干项满足 an ? an?1 ? 3 ,即 an ? a1 ? 3(n ?1) .

设 a1 ??3k,3k ? 3?,(k ?1, k ? N*) ,则当 n ? k ?1时, ak?1 ? a1 ?3k ??0,3? .

从而此时命题成立…………………………………………………………(8 分)

③若 a1 ? 0 ,由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 ,则由②的结论知此时命题也成立.

综上所述,原命题成立…………………………………………………………(10 分)

(3)当

2

?

a

?

3 时,因为

an

?

? ??4

a ?

(n为奇数) a(n为偶数),

所以

?a

bn

?

2n

an ? (?

?? 2n ? (?1)n

1n)=

? ?

4?a

?? 2n ? (?1)n

(n为奇数)
………………………………(11 分)
(n为偶数)

因为 bn >0,所以只要证明当 n ? 3 时不等式成立即可.

而 b2k ?1

? b2k

?

a 22k ?1

? ?1

4?a ? 22k ?1

a ? 22k?1 ? 22k?1 ? (4 ? 2a) (22k?1 ?1)(22k ?1)

?

a ? 22 24k ?1

k ?1 ? 22k ?1 ? 22k?1 ?1

?

a ? 22k ?1 ? 22k ?1 24k ?1

?

a?4 22k

……………………(13

分)

①当 n ? 2k(k ? N *且k ? 2) 时,

? ? 2k

2k a 4 ? a a ? 4 a ? 4

a?4

i?1 bi ? b1 ? b2 ? i?3 bi ? 3 ? 3 ? ( 22?2 ? 22?3 ? ??? ? 22?k )

?

4

? (a ? 4)?

1 24

(1? (1)k?1) 4

?

4

?

(a ? 4) ? (1? (1)k?1) 4

?

4

?

a?4

3

1? 1

3

12

3 12

4

? 20 ? a .……(15 分) 12

? ? ②当 n ? 2k

?1(k ? N *且k

2k ?1
? 2) 时,由于 bn >0,所以 bi
i ?1

?

2k i ?1

bi

< 20 ? a . 12

综上所述,原不等式成立…………………………………………………………(16 分)

附加题部分(计 40 分)

1. (1)证:∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF ∴ EH ? AE ? CE ,∵HE=EC,∴BF=FD ∴ F 是 BD 中点.………………………(5 分) BF AF FD (2)∵AB 是直径,∴∠ACB=90°∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线………………………………………………(10 分) (说明:也可证明△OCF≌△OBF(从略,仿上述评分标准给分))

2. 解 :

(1)设

?a M= ??c

b?

d

? ?







?a ??c

b? d??

?1 ? ???1??

=

??1? ???1??



?a ??c

b? d??

??2?

??1

? ?

=

?0 ? ???2??

,所以

?a ??c

? ?

b d

? ?

?1 ,
?1



??2a ???2c

? ?

b d

? ?

0, ?2

?a ?1

解得

??b ??c

? ?

2 3

,所以

M=

?1 ??3

??d ? 4

2? 4??

.…………………………………………(5

分)

(2)因为

?x??

? ?

y???

?

?1 ??3

2? 4??

? ? ?

x? y??

?

?x ? 2y ? ??3x ? 4 y??



m:

x?

?

y?

?

4



所以(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+y+2=0,它便是直线 l 的方程.……(10 分)

3.将方程

? ??

x

?

? ??

y

?1? 4 5
? ?1?

t
3 5

t

,

?

?

2 cos(? ? ? ) 分别化为普通方程: 4

3x ? 4y ?1 ? 0



x2 ? y2 ? x ? y ? 0, ………………………………………………………………(5 分)

圆心C( 1 ,- 1 ),半径为 22

2 2

圆心到直线的距离d= 1 10

,弦长=2

r2 ? d 2 ? 2

1 2

1 ? 100

?

7. 5

4.解: 证明:由 x2 ? y ? x ( y ? 0),得 x2 ? x ? y ( y ? 0) ,

y4

y

4

……(10 分)

所以

1

? bc

?

( 1 )2 a

?

1 ? 1 (1 ? 1)

a3 (b ? c) a 2 (b ? c) 1 ? 1 a 4 b c

bc

同理:

1 b3 (a ?

c)

?

1 b

?

1 4

(1 a

?

1) c



1 c3 (a ?

b)

?

1 c

?

1 4

(1 a

?

1) b

相加得:左? 1 ( 1

?

1

?

1 )

?

33

abc

?

3 …………………………………(10

分)

2a b c 2

2

5. 解:(1)分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览
丁 景 点 ” 为 事 件 A1, A2 , A3, A4 , 由 已 知 A1, A2 , A3, A4 相 互 独 立 , 且
P( A1) ? P( A2 ) ? P( A3) ? P( A4 ) ? 0.6.
客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3,4;相应的,客人没有游览的景点数的可能
取值为 4,3,2,1,0.所以? 的可能取值为 0,2,4

P(? ? 0) ? C42 (0.6)2 (1? 0.6)2 ? 0.3456. P(? ? 2) ? C41(0.6)1(1? 0.6)3 ? C43 (0.6)3(1? 0.6)1 ? 0.4992. P(? ? 4) ? (0.6)4 ? (1? 0.6)4 ? 0.1552

? 2?0.4?0.5? 0.6 ? 0.24, P(? ? 1) ? 1? 0.24 ? 0.76

所以? 的分布列为

?

0

2

4

P

0.34

0.49

0.1

56

92

552

E ? 0?0.3452 ? 2?0.4992 ? 4?0.1552 ?1.6192. ………………………………………(5 分)

(2)因为 f (x) ? (x ? 3 ? )2 ? 1 ? 9 ? 2 , 所以函数 f (x) ? x2 ? 3?x ? 1在区间[ 3 ? ,??)

2

4

2

上单调递增.

要使 f (x) 在[4,??) 上单调递增,当且仅当 3 ? ? 4, 即 ? ? 8 .

2

3

从而 P(A) ? P(? ? 8) ? P(? ? 0) ? P(? ? 2) ? 0.8448. ………………………………(10 分) 3

6. 解:(1)以 CD, CB, CE 为正交基底,建立空间直角坐标系,则

? ? ? ? E(0,0,1), D( 2,0,0), B 0, 2,0 , A 2, 2,0 ,

面ADF的法向量t ? (1, 0, 0), BD ? ( 2, ? 2, 0), BF ? ( 2, 0,1) .

设面 DFB 法向量 n ? (a,b, c),则n ? BD ? 0, n ? BF ? 0 ,

所以

?? ?

2a ?

2b ? 0令a=1,得n ? (1,1, ?

2) ,

?? 2a ? c ? 0

cos ? n,t ?? 1 ,故 二面角 A-DF-B 的大小 600…………………………………………(5 分) 2

? ? (2)设 P(a, a,0) 0 ? a ? 2 ,则PF ? ( 2 ? a, 2 ? a,1), CB ?(0, 2,0) ,

因为 ? PF,CB ?? 600所以cos600 ?

? ? 2 2 ? a

?1,

? ?2

2

2? 2 2 ?a ?1

解得 a ? 2 故存在满足条件的点 P 为 AC 的中点. ……………………………(10 分) 2




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